极限连续学习方法 极限连续怎么求

一、极限求解方法

1. 基本定义法

通过ε-δ语言严格定义极限，适用于理论证明题。例如证明lim(x→0)sinx/x=1时需构造不等式。

2. 泰勒展开与等价无穷小

利用泰勒公式将复杂函数展开为多项式，如1-cos√x ≈ x/2（x→0时）。常见等价替换如sinx~x，ln(1+x)~x。

3. 洛必达法则

处理0/0或∞/∞型未定式，需验证分子分母可导且分母导数不为零。

4. 分段函数极限

需分别计算左右极限，例如f(x)={x+1(x>0); b(x≤0)}在x=0处连续需满足左极限=右极限=函数值。

二、连续性判定要点

1. 三要素检验

例如f(x)在x=0处连续需满足lim(x→0)f(x)=f(0)。

2. 间断点分类

三、典型例题

1. 分段函数连续参数求解

设f(x)={ (1-cos√x)/x (x>0); b (x≤0)}，若在x=0连续，则通过右极限lim(x→0)=1/2=b求得ab=1/2。

2. 复合函数极限

求lim(x→0)sin(√(x+x))时，可利用泰勒展开或等价替换√(x+x)~x。

建议结合视频课程系统学习，例如张宇《30讲》对极限计算与连续性的分类讲解，并通过大量练习巩固各类题型的解法。注意多元函数极限需考虑任意路径趋近，与一元函数有本质区别。