指数分布的期望和方差

当我们深入指数分布时，会发现其概率密度函数展现了一种特殊的数学美，就像大自然的神秘面纱被缓缓揭开。该分布的概率密度函数可以采用两种不同的参数化方式：一种是速率参数λ，另一种是尺度参数θ=1/λ。这次，我们聚焦于速率参数λ，来其背后的数学奥秘。

指数分布的概率密度函数表达式为：f(x) = λe^-λx 当 x ≥ 0。它描绘了一个随时间增长的指数衰减模式，仿佛时间在不断流逝，而某些事件发生的概率则在不断减少。

我们首先深入其期望E[X]的计算。这一过程需要用到积分的知识，通过设定u和dv的值，进行分部积分。最终我们发现，期望E[X]等于1/λ，这一结果简洁明了，体现了数学在解决实际问题时的力量。

接下来，为了计算方差Var(X)，我们需要先求出E[X]。这个过程同样涉及到复杂的积分运算，但通过数学技巧，我们得以顺利求解。最终，我们得到方差的表达式：Var(X) = 1/λ。这个结果体现了指数分布的特性，即事件之间的时间间隔的波动与速率参数λ的平方成反比。

总结一下，指数分布的期望和方差分别为：期望 = 1/λ 和 方差 = 1/λ。这两个结果简洁而深刻，它们揭示了指数分布的内在规律，也为我们提供了解决实际问题的重要工具。

在数学的海洋中，每一个公式、每一个结果都像是一颗璀璨的明珠，背后隐藏着无数的故事和奥秘。让我们继续，让数学的光芒照亮我们的前行之路。