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变函数学习方法 函数的变换公式

教育知识 2025-09-16 12:47学习方法网www.ettschool.cn

一、函数变换公式总结

1. 基本变换类型

函数图象有三种基本变换：平移变换、对称变换和伸缩变换。

2. 平移变换

  • 水平平移：y=f(x+a)的图象可由y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位得到
  • 垂直平移：y=f(x)+b的图象可由y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位得到
  • 记忆口诀："左加右减，上加下减"

    • 3. 对称变换

  • 关于x轴对称：y=f(x)→y=-f(x)
  • 关于y轴对称：y=f(x)→y=f(-x)
  • 关于原点对称：y=f(x)→y=-f(-x)
  • 关于直线y=x对称：y=f(x)→y=f(x)

    • 4. 翻转变换

  • x轴下方部分翻折到上方：y=f(x)→y=|f(x)|
  • y轴右侧部分翻折到左侧：y=f(x)→y=f(|x|)

    • 5. 伸缩变换

  • 水平伸缩：y=f(ωx)(ω>0)可由y=f(x)上每点横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)
  • 垂直伸缩：y=Af(x)(A>0)可由y=f(x)上每点纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

    二、实变函数学习方法

    1. 基础学习策略

  • 明确目标：根据需求(及格或高分)制定不同学习计划
  • 上课听讲：无论是否完全理解，先听一遍加深印象
  • 网课辅助：推荐ModuliSpace老师的实变函数网课
  • 抄写背诵：用A4纸抄写定义定理并背诵

    • 2. 进阶学习方法

  • 构建知识框架：先列出章节脉络，再填充具体内容
  • 重点定理研究：如叶戈罗夫定理、卢津定理、勒贝格定理等
  • 具体例子法：用具体例子来记忆和理解定理
  • 知识联系法：理解概念在实际应用中的意义

    • 3. 学习路径建议

    1. 单调递增定理→法图引理→控制收敛定理(三位一体)

    2. 掌握Borel/Radon测度和Riesz表示定理

    3. 学习以Radon-Nikodym为中心的测度分解

    三、三角函数变换公式

    1. 和差角公式

    ```

    sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinB

    cos(A±B) = cosAcosB sinAsinB

    tan(A±B) = (tanA±tanB)/(1tanAtanB)

    ```

    2. 倍角公式

    ```

    sin2A = 2sinAcosA

    cos2A = cosA-sinA = 2cosA-1 = 1-2sinA

    tan2A = 2tanA/(1-tanA)

    ```

    3. 半角公式

    ```

    sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]

    cos(A/2) = ±√[(1+cosA)/2]

    tan(A/2) = ±√[(1-cosA)/(1+cosA)] = sinA/(1+cosA) = (1-cosA)/sinA

    ```

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