2025年初中数学公式之正弦定理公式证明

步骤一：锐角三角形中的几何奥秘

在一个锐角三角形ABC中，设BC为边a，AC为边b，AB为边c。这时，我们作一条垂线CH，从C点垂直到AB，交于点H。这条垂线的长度，蕴含了三角形中的神奇关系。

我们知道，CH的长度等于a乘以sinB，也等于b乘以sinA。由此，我们可以推导出a乘以sinB等于b乘以sinA，进而得到a除以sinA等于b除以sinB。这就是三角形中的一条重要性质。

步骤二：介绍外接圆中的比例关系

让我们回到那个任意的三角形ABC，然后构建一个以ABC为顶点的外接圆O。想象一下，如果我们从圆心O引出一条直径BD，让它与圆相交于点D。然后我们再连接点D和点A。这时，我们可以利用圆的性质来揭示三角形中的比例关系。

由于直径所对的圆周角是直角，我们知道角DAB是90度。由于同弧所对的圆周角相等，我们知道角D和角C是相等的。由此我们可以得到，边c与角C的正弦值的比，等于边c与角D的正弦值的比，也就是BD的长度。而BD作为直径，其长度是外接圆的直径，也就是半径的两倍，即2R。通过这个推导过程，我们得到了在三角形中非常关键的比例关系：任意一边与其对应角的正弦值的比等于外接圆的直径长度。如此这般的关系在任何一个三角形的外接圆中都存在。通过这样的方式，我们同样可以证明三角形中另外两个边的比例关系也是如此。