2025年中考数学每日一题（二十八）

抛物线与其相关直线的奥秘

在数学的神秘世界里，有一种特殊的曲线抛物线y=a(x-3)(x-1)，这条曲线与x轴相交于两点A和B，其中点A位于点B的右侧。现在有一条过点A的直线，它与抛物线相交于另一点C，已知点C的坐标为(-2，6)。我们的任务，就是要解开这个谜题，其中的未知。

（1）我们要找到a的值以及直线AC的函数关系式。通过代入点C的坐标到抛物线方程中，我们可以求得a的值。接着，利用两点式求出直线AC的方程。这是一个充满挑战的数学之旅，我们期待着解开这些谜团。

（2）接下来，我们设定P是线段AC上的一动点。从P出发，作一条与y轴平行的线，这条线与抛物线相交于点M，与x轴相交于点N。我们的目标是：

①求出线段PM的最大长度。我们可以通过分析线段PM的长度表达式，找到其最大值。这是一个考验我们数学技巧的问题，我们期待着通过精确的计算找到答案。

②我们还需要判断在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似。如果存在，我们需要直接写出所有满足条件的点M的坐标。这个问题需要我们运用相似三角形的性质，通过精确的推理和计算来解答。

让我们一起，用数学的力量，解开这个谜题，抛物线与其相关直线的奥秘。无论是求解a的值，还是寻找满足条件的点M，都需要我们运用数学的知识和技巧。这个过程将充满挑战和乐趣，让我们一起期待解开这个谜题的那一刻吧！