2025年初中数学圆的练习之切线的判定

【图】

在这里，我们有一个⊙O，而P是直径BA的延长线上的一点。PC与⊙O相切，切点为C。点D是⊙上的一个小点，连接PD。已知PC=PD=BC。我们来看看以下几个结论：

（1）PD是否与⊙O相切？（2）四边形PCBD是否为菱形？（3）PO是否等于AB？（4）∠PDB是否为120°？

让我们逐一这些神秘的问题。

利用切线的性质，我们知道PC与⊙O的接触点是完美的90°，也就是说，∠PCO=90°。通过对比△PCO和△PDO的三边长度，我们发现这两三角形是全等的，∠PCO=∠PDO=90°。这证明了PD与⊙O确实相切，结论（1）正确。

接下来，（2）中的四边形PCBD是不是菱形呢？由于前面已经证明∠CPB=∠BPD，并且PC=PD=BC=BD，我们可以确定四边形PCBD的四边等长，因此它是一个菱形。结论（2）也是正确的。

再看（3），连接AC，由于PC=CB，我们知道∠CPB=∠CBP。又因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°。对比△PCO和△BCA的三个条件，我们发现这两个三角形是全等的，因此CO=PO=AB，证明了结论（3）正确。

（4）中的∠PDB是否为120°？由于四边形PCBD是菱形，∠CPO=30°，我们知道DP=DB，∠DPB=∠DBP=30°。这意味着∠PDB等于两个这样的角度之和，也就是120°。结论（4）也是正确的。

（1）（2）（3）（4）这四个结论都是正确的。这真是一场知识与智慧的盛宴！答案为A。

【点评】此篇文章不仅考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等知识点，还充分展示了如何通过逻辑推理和数学证明来揭示真相的过程。这是一个思维与逻辑交织的美妙旅程。