2025中考数学代数式最值的求法

关于求代数式的最大值和最小值，这是数学初试中经常出现的题型。解法多样，不能一概而论。以下将针对初中阶段较为常见的解法进行举例说明，供同学们复习参考。

一、配方法

对于形如$ax^{2} + bx + c$的二次式，我们可以通过配方的方法求其最小值。例如，给定的式子：当a、b为实数时，如何找到它的最小值？

解：由于该式子可写为完全平方的形式，即$(a-b)^{2} - b^{2}$。我们知道任何实数的平方都是非负的，所以当$(a-b)^{2}$取最小值即等于零时，该式子取得最小值$-b^{2}$。也就是说当且仅当$a = b$时，式子的值最小，最小值为$-b^{2}$。通过配方的方法，我们可以轻松地找到代数式的最小值。

二、计算法

考虑另一个例子：已知$x \geq 0$，$y \geq 0$，且$x + y + 1 = xy$，我们需要找到代数式$\frac{x + y}{xy}$的最小值。解这道题目的关键在于利用已知条件进行巧妙的计算。通过解方程和不等式，我们可以得到当且仅当$x = y = 2$时，代数式取得最小值$\frac{3}{2}$。计算法要求我们熟练掌握代数式的性质和计算方法，通过精确的计算找到代数式的最小值。在计算过程中，我们需要灵活运用代数式的性质和公式，通过合理的推导和计算，找到代数式的最小值。在这个过程中，我们需要深入理解题目中的已知条件，通过合理的推理和计算，找到解决问题的关键步骤。求代数式的最大值和最小值是一个需要深入理解题目并灵活运用知识的过程。无论是配方法还是计算法，都需要我们熟练掌握相关的知识和技巧，通过不断的练习和实践，提高解题能力。希望以上例子能够帮助同学们更好地理解和掌握求代数式的最大值和最小值的方法。