2025年中考数学临考冲刺专题练测：二次函数与三角性相似

二次函数与三角性相似的奥秘

在平面直角坐标系的奇妙世界中，有一条特殊的直线y＝－3x＋3，它如同一个舞者在舞台上翩翩起舞，与x轴、y轴分别相交于点A和点B。在这条直线的陪伴下，一条抛物线C也在悄然舞动，它通过A、B两点，并在x轴上与点M(-3, 0)相遇。

让我们揭开这个谜团的第一层：

(1) 探求抛物线C的精确表达式。这如同寻找舞者的舞蹈步伐，我们需要根据A、B、M三点的位置，运用待定系数法，描绘出这条抛物线的完整形态。由于A、B分别是直线y＝－3x＋3与x轴、y轴的交点，我们可以通过“分别令0法”确定A、B的坐标，进而求得抛物线的表达式。

接下来，我们要抛物线的对称之美：

(2) 抛物线C关于y轴的对称图形被命名为C&pri，它的顶点被命名为D。为了找到D的坐标，我们首先要描绘出C&pri的函数表达式。由于C&pri与C关于y轴对称，我们可以运用数形结合的思想，观察到对称后C&pri图象上的点与C图象上的对应点相比，纵坐标保持不变，横坐标则互为相反数。通过这样的观察，我们可以轻松地找到D的坐标。

我们进入一个关于相似三角形的之旅：

(3) 我们需要找到一个点P，使得△PAD与△A&priBO相似。这如同一场寻找相似图形的游戏。当△PAD与△A&priBO相似时，它们的对应边成比例。我们可以通过比例关系式来求出AP的长度。由于对应边的不确定性，我们需要分情况讨论，寻找符合条件的P点坐标。

在这场数学之旅中，我们既了二次函数的奥秘，又领略了三角性相似的魅力。通过解决这些问题，我们不仅锻炼了我们的数学技能，还享受了数学带来的乐趣。