点到直线的距离公式推导

向量投影法：

直线的法向量是(A, B)，直线方程为Ax + By + C = 0。假设直线上有一点Q(x, y)，满足Ax + By + C = 0。从点P(x, y)向该直线引出一条向量PQ，其坐标表示为(x - x, y - y)。我们计算向量PQ在法向量方向上的投影长度。这个投影长度可以理解为点P到直线的垂直距离d。

利用向量投影的公式，我们可以得到：

d = \frac{|A(x - x) + B(y - y)|}{\sqrt{A^2 + B^2}}。

由于Ax + By = -C，代入上式得到：

d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}。

垂线方程法：

考虑直线上的垂线，其参数形式为x = x + At，y = y + Bt。将此垂线方程代入原直线方程Ax + By + C = 0中，我们可以解得参数t的值。通过解得的t值，我们可以得到垂足点N的坐标。接着计算PN的距离，这个距离就是点P到直线的距离d。计算结果为：

d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}。

面积法：

选取直线上的任意一点Q，从点P引出向量QP，并利用三角形面积的叉积计算方法得到三角形面积。我们知道三角形的底边为直线的法向量长度，即√(A + B)。通过面积公式和底边长度，我们可以解出点P到直线的距离d。最终得到的距离公式为：

d = \frac{|Ax + By + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}。

点P(x, y)到直线Ax + By + C = 0的距离公式为：

\boxed{d = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}}。这一公式可以通过向量投影法、垂线方程法或面积法三种不同的几何方法来推导得出。