正态分布公式

标准正态分布函数及其参数含义

我们首先要了解一个公式，它描述了标准正态分布的概率密度函数（PDF）：f(x)=1σ√2πe(xμ)22σ2。在这个公式中，有两个重要的参数：均值μ和标准差σ。

均值μ：它决定了分布的“中心”位置。换句话说，μ是数据分布的平衡点，峰值出现在x=μ处。

标准差σ：它决定了分布的宽度或离散程度。σ值越大，数据分布越广泛；σ值越小，数据分布越集中。方差σ^2则进一步描述了数据的离散程度。

当μ=0且σ=1时，公式简化为φ(x)=1√2πex2，此时的分布被称为标准正态分布。在实际应用中，我们常常需要进行Z分数标准化，即将x转换为z=xμσ。

正态分布曲线呈现出钟形对称的特点，峰值出现在x=μ处。远离均值时，概率密度迅速趋近于零，这是由指数项控制的衰减速度决定的。

我们还需要了解累积分布函数（CDF），它表示小于或等于某个特定值的概率。CDF通过对PDF进行积分得到，常表示为Φ(x)。通过误差函数（erf）可以计算Φ(x)=12[1+erf(xμσ√2)]。

值得注意的是，PDF值f(x)本身并不代表概率，它表示特定区间内的概率密度。要得到x落在区间[a, b]内的概率，需要对PDF在a到b之间进行积分。

标准正态分布是一种重要的概率分布，它在统计学和许多其他领域都有广泛的应用。理解其参数含义和曲线特性，对于分析和理解数据分布具有重要意义。