三角函数计算

对于计算正弦值\\(\\sin\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right)\\)（即22.5度的正弦值），我们可以采用半角公式这一方法。半角公式为我们提供了一种便捷的途径来计算特定角度的正弦值。

半角公式为：\\sin\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\sqrt{\\frac{1-\\cos\\theta}{2}}。在这个公式中，我们需要找到与给定角度相关的余弦值，然后代入公式中进行计算。在这个特定例子中，我们的角度 \\theta 是 \\frac{\\pi}{4}，也就是人们常说的45度角。那么半角就是 \\frac{\\pi}{8}，即我们需要求的角度值。我们接下来一步步进行计算：

计算余弦值 \\cos\\left(\\frac{\\pi}{4}\\right)，根据三角函数表或相关计算知识我们知道这个值为 \\frac{\\sqrt{2}}{2}。然后，我们将这个值代入半角公式中进行计算：\\sin\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = \\sqrt{\\frac{1-\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)}{2}}。接下来，我们可以化简这个表达式：将分子中的部分展开，并将分母进行简化处理。最后一步是开平方并简化结果，得到最终答案：\\sin\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{根号下的两倍}。这个结果就是我们要求的正弦值。我们可以把这个结果以更为直观的形式展现：以正方形的一个顶点作为起点，将对角线划分为两部分，所求的正弦值就对应着这个对角线分割出的部分与整个对角线的比例关系。\\sin\\left(\\frac{\\pi}{8}\\right) 可以简洁明了地表达为分数的形式：等于分数的根号部分与根号下的两倍的比值。