2025年中考数学每日一题（二十二）

如图9所示，在一个矩形OABC中，已知点A和点C的坐标分别为A(4,0)和C(0,2)。点D是线段OA的中点。假设点P是线段AC平分线上的动点（不与点O重合）。接下来我们将对几个问题进行详细。

（1）无论点P如何运动，我们可以证明线段PC的长度始终等于线段PD。这是因为点P位于AC的平分线上，而D是OA的中点，因此PD是三角形OAC的中位线。根据中位线的性质，我们知道中位线与它所对的一边平行且等于该边的一半，所以PC=PD。

（2）当点P与点B的距离达到最小时，我们需要找到经过点O、P和D的抛物线的式。由于点P在AC的平分线上运动，我们可以通过分析找到使得PB最小的P点位置，进而确定这条抛物线的方程。

（3）在（2）中找到的抛物线的顶点设为E。我们需要找到点P的位置，使得三角形PDE的周长最小。通过分析和计算，我们可以找到这样的P点并求出其坐标，以及此时三角形PDE的周长。

（4）假设点N是矩形OABC的对称中心。我们要确定是否存在某个点P，使得角CPN等于90度。如果存在这样的点P，我们需要通过分析和计算来确定其坐标。结合图形的对称性和点P的特殊位置关系，我们可以解决这个问题。

本次涉及了复杂的平面几何问题，包括对中点、平分线、抛物线、三角形周长以及角度的计算和分析。通过对这些问题的深入研究，我们可以更深入地理解平面几何的相关概念和性质。